Pengertian dan Jenis Pola Bilangan
Pernahkah
Anda bermain ular tangga? Untuk memainkan permainan ular tangga Anda memerlukan
sebuah dadu. Jika anda perhatikan, di setiap sisi dadu tersebut memiliki memiliki
bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan-bulatan kecil (disebut
noktah atau titik), seperti gambar di bawah ini.
Bulatan-bulatan
kecil tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu bulatan mewakili
bilangan 1, dua bulatan mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam bulatan
yang mewakili bilangan 6. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata
mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.
Jika mengamati
dadu tersebut, diurutkan dengan suatu aturan tertentu sehingga
bilangan-bilangan pada dadu tersebut membentuk suatu barisan. Jadi pola bilangan merupakan suatu bilangan
dengan aturan tertentu akan membentuk suatu barisan bilangan yang teratur.
Dalam
kehidupan sehari-hari banyak terdapat pola bilangan. Suatu barisan bilangan
dapat ditunjukkan dengan pola-pola. Berikut beberapa contoh pola bilangan,
yakni:
a.
Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil. Gambar polanya
seperti gambar berikut.
b. Barisan
2, 4, 6, 8, .... Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap.
Gambar
polanya seperti gambar berikut.
Iklan
c. Barisan
1, 3, 6, 10, . .. Barisan ini disebut barisan bilangan segitiga. Gambar polanya
seperti gambar berikut.
d.
Barisan 1, 4, 9, 16, . .. Barisan ini disebut barisan bilangan segiempat.
Gambar polanya seperti gambar berikut.
Pola Bilangan Pada Segitiga Pascal
Segitiga
pascal ini sudah anda pelajari pada saat kelas VII, materi ini sangat penting
dipelajari karena hampir disetiap jenjang di SMP dapat materi ini. Bahkan
sampai jenjang SMA pun materi ini akan muncul kembali. Perlu anda ketahui bahwa
susunan bilangan pascal telah dikenal di Cina kira-kira tahun 1300. Susunan
bilangan itu dinamakan Segitiga Pascal, setelah matematikawan Perancis, Blaise
Pascal mempublikasikan pola ini pada tahun 1653.
Bilangan-bilangan
yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini
disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan
diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang
diulang.
Adapun
bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak dalam di bawah ini.
Jika diamati
dengan cermat, bilangan-bilangan yang terdapat pada segitiga Pascal memiliki
pola tertentu, yaitu dua bilangan yang berdekatan dijumlahkan untuk mendapatkan
bilangan pada baris selanjutnya. Segitiga Pascal dapat digunakan untuk
menentukan koefisien pada suku banyak (x + y)n dengan n bilangan asli.
Perbedaan Barisan dan Deret Bilangan
Mungkin
anda pernah melihat barisan bebek yang sedang berjalan. Tidak hanya bebek,
bilangan pun bisa berbaris yang dikenal dengan istilah barisan bilangan.
Bilangan-bilangan
yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan.
Misalnya, barisan bilangan
a. 45,
50, 55, 60, 65, ..., 120
b. 3, 6,
9, 12, 15, ..., 30 dan
c. 5, 10,
15, 20, 25, ...,55.
Bilangan-bilangan
yang membentuk suatu barisan bilangan disebut suku barisan. Misalnya, pada barisan
bilangan genap 2, 4, 6, 8, ... suku ke-1 dari barisan tersebut adalah 2, suku
ke-2 adalah 4, suku ke-3 adalah 6, dan seterusnya. Jadi, suatu barisan bilangan
dapat dikatakan sebagai suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan.
Berdasarkan
pola ketiga barisan tersebut, dapat diperoleh penjumlahan berikut.
a. 45 +
50 + 55 + 60 + 65,
b. 3 + 6
+ 9 + 12 + 15,
c. 5 + 10
+ 15 + 20 + 25.
Penjumlahan
suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret. Oleh karena itu, jika
U1, U2, U3, ..., Un adalah suatu barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + ... + Un dinamakan
deret. Nanti kita akan mengenal isitilah
barisan dan deret aritmatika serta barisan dan deret geometri.
Penerapan Barisan Bilangan dalam kehidupan Sehari-hari
Coba perhatikan gambar di bawah ini.
Pada
gambar di atas merupakan susunan segitiga yang dibuat dari kartu remi. Bisakah
anda membuat susunan kartu remi seperti bentuk di atas. Untuk membuat hal
seperti itu Anda harus membutuhkan kesabaran yang luar biasa dan tentunya jangan
mudah menyerah. Saya kagum dengan hal tersebut karena orang tersebut mampu
membuat susunan segitiga dengan kartu remi sampai 12 tingkat. Lalu apa
hubungannya dengan barisan bilangan pada gambar di atas?
Tahukah
anda berapa kartu remi yang diperlukan untuk membuat susunan seperti gambar di
atas? Untuk menjawab soal tersebut anda harus memahami konsep barisan bilangan.
Hal yang Anda harus lakukan untuk menjawab soal di atas adalah dengan cara
mencari rumus suku ke n dari susunan kartu remi tersebut. Jika kita jabarkan
maka akan terbentuk barisan bilangan seperti berikut seperti gambar berikut.
Untuk
membuat susunan segitiga dengan:
1
tingkat = 3 kartu remi
2 tingkat
= 9 kartu remi
3
tingkat = 18 kartu remi
4
tingkat = 30 kartu remi
Dan seterusnya.
Maka
barisan bilangannya menjadi: 3, 9, 18, 30, . . .
Ternyata
pola tersbut merupakan pola barisan geometri tingkat 2, yakni
U1 = 3
= ((3/2).1.0) + 3 = ((3/2).1.0) + (3.1)
U2 = 9
= ((3/2).2.1) + 6 = ((3/2).2.1) + (3.2)
U3 = 18
= ((3/2).3.2) + 9 = ((3/2).3.2) + (3.3)
U4 = 30
= ((3/2).4.3) + 12 = ((3/2).4.3) + (3.4)
Un = ((3/2).n.(n-1)) + 3n
Un = (3/2)n2
– (3/2)n + 3n
Un = (3/2)n2
+ (3/2)n
Jadi kita dapat hitung berapa kartu remi yang diperlukan
untuk membuat segitiga sampai 12 tingkat, yakni
Un = (3/2)n2
+ (3/2)n
U12 = (3/2)122
+ (3/2)12
U12 = 216
+ 18
U12 = 234
Jadi
untuk membuat segitiga dengan kartu remi sampai 12 tingkat diperlukan kartu
sebanyak 234 buah kartu remi. Semoga artikel ini berguna buat anda yang mencoba
mempelajari konsep deret dan barisan bilangan.
Cara Menghitung Barisan dan Deret Aritmatika
Nah pada kesempatan ini kita akan kembali membahas mengenai barisan
dan deret bilangan, akan tetapi yang dibahas adalah barisan dan deret aritmatika. Apa itu barisan dan deret aritmatika?
Sebelumnya
kita sudah membahas bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan)
tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Barisan bilangan yang suku
berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu)
dinamakan barisan aritmetika. Bilangan yang tetap itu dinamakan beda (dilambangkan dengan huruf b).
Dalam
kehidupan sehari-hari sering kita jumpai sesuatu yang menggunakan prinsip
barisan aritmatika. Misalnya pada pemasangan meja di gedung DPR RI di Senayan
seperti gambar berikut ini.
Pada
gambar di atas tampak pada barisan ke-1 terdiri dari 4 buah meja, barisan ke-2
teridiri dari 5 buah meja, barisan ke-3 terdiri 6 buah meja dan begitu juga
seterusnya. Sekarang, bisakah kamu menebak berapa ada meja pada barisan ke-7
dan jumlah semua meja tersebut dari barisan ke-1 sampai barisan ke-7? Untuk
memjawab hal tersebut anda harus pahami terlebih dahulu konsep barisan dan
deret aritmatika.
Sekarang
coba perhatikan contoh barisan bilangan berikut ini.
a. 1,
3, 5, 7, 9, ..., Un,
b. 2,
4, 8, 16, 32, ..., Un.
Selisih
dua suku berurutan pada barisan (a) selalu tetap, yaitu 2. Barisan bilangan
yang demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua suku berurutan
pada barisan (b) tidak tetap. Barisan bilangan (b) bukan merupakan barisan
aritmetika.
Pada
barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan dinamakan beda dan dilambangkan
dengan b. Secara umum, barisan
aritmetika didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un
+ 1 dinamakan barisan aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi
Un + 1
– Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.
Suku
ke-n barisan aritmetika dirumus kan sebagai berikut.
Un = a
+ (n – 1) b
Conto
Soal 1
Tentukan
suku ke-61 dari barisan bilangan 4, 8, 12, 16, . . Un
Penyelesaian:
a = 4
dan b = 4
sehingga
Un = a + (n – 1)b
U61 = 4
+ (61 – 1)4 = 4 + 240 = 244
Jadi,
suku ke-61 dari barisan 4, 8, 12, 16, . . Un adalah 244.
Sekarang
coba perhatikan kembali contoh barisan bilangan berikut ini.
1, 3,
5, 7, 9, ..., Un,
Jika dijumlahkan
barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai
berikut.
1 + 3 +
5 + 7 + 9 + ... + Un
Jadi,
deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. Sekarang,
bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut?
Untuk
deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah
untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak,
tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Rumus untuk
menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.
Sn = (n/2)(a
+ Un)
Kita
ketahui bahwa Un = a + (n – 1) b, rumus untuk jumlah dari deret aritmatika dapat
ditulis sebagai berikut.
Sn = (n/2)(2a
+ (n – 1) b)
Contoh
Soal 2
Diketahui
deret aritmetika : 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + U10. Tentukan:
a. suku
kesepuluh (U10) deret tersebut,
b.
jumlah sepuluh suku pertama (S10).
Jawab :
Diketahui
: a = 6 dan b = 3
a. Un =
a + (n – 1) b maka
U10 = 6
+ (10 – 1) 3
U10 = 6
+ 9 · 3
U10 = 6
+ 27
U10 = 33
Jadi,
suku kesepuluh deret tersebut adalah 33.
b. Sn =
(n/2)(a + Un) maka
S10 = (10/2)(6
+ U10)
S10 = (10/2)(6
+ 33)
S10 =
195
Jadi,
jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 195
Sekarang,
kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika
memiliki sifat-sifat sebagai berikut.
(1)
Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka
U2 – U1
= U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1
(2)
Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka
2U2 =
U1 + U3
(3)
Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka
Um = Un
+ (m – n)b
Contoh
Soal 3
Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan
suku-suku deret geometri.
Jawab:
Diketahui :
U1 = x
– 1
U2 = 2x
– 8
U3 = 5
– x
2U2 =
U1 + U3 maka
2 (2x –
8) = (x – 1) + (5 – x)
4x – 16
= x – 1 + 5 – x
4x – 16
= 4
4x = 20
x = 5
Jadi,
nilai x sama dengan 5.
Contoh
Soal
Dari
suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku
kesepuluhnya adalah 92. Tentukan:
a. beda
deret aritmatika tersebut,
b. suku
ketujuh deret aritmetika tersebut
Jawab:
a. Diketahui
U4 = 38
U10 =
92
Untuk
mencari beda:
Um = Un
+ (m – n)b
92 = 38
+ (10 – 4)b
92 – 38
= (10 – 4)b
54 = 6b
b =
54/6
b = 9
b. Diketahui:
U4 = 38
b = 9
Um = Un
+ (m – n)b maka
U7 = U4
+ (7 – 4)b
U7 = 39
+ (7 – 4)9
U7 = 39
+ 27
U7 = 65
Cara Mencari Suku Ke-n dari Barisan Aritmatika
Dalam
barisan aritmatika kita akan mengenal tingkatan-tingkatan barisan
aritmatika. Mulai dari barisan aritmatika tingkat kesatu, tingkat kedua,
tingkat ketiga, dan seterusnya. Dalam hal ini Mafia Online hanya
membahas sampai barisan aritmatika tingkat ketiga. Rumus secara umum suku ke-n dari barisan artimatika:
Tingkat 1 => Un = an + b
Tingkat 2 => Un = an2 + bn + c
Tingkat 3 => Un = an3 + bn2
+ cn + d
Barisan
Aritmatika Tingkat Kesatu
Contoh barisan aritmatika tingkat kesatu yakni
sebagai berikut.
a. 2, 4, 6, 8, 10, . . .
b. 3, 6, 9, 12, 15, . . .
Kenapa disebut sebagai barisan aritmatika
tingkat kesatu? Karena selisih dua suku yang berdekatan memiliki nilai sama berada
pada tingkat pertama. Perhatikan gambar di bawah ini.
Untuk
mencari rumus ke-n dari barisan aritmatika
tingkat kesatu, silahkan perhatikan uraian berikut ini. Kita ketahui
bahwa rumus umum untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat
kesatu yakni:
Un = an + b
maka:
U1 = a + b
U2 = 2a + b
U3 = 3a + b
U4 = 4a + b
Jika kita buat dalam barisan aritmatika maka akan tampak seperti berikut.
Dari gambar di atas terlihat bahwa selisih antara U2 dengan U1, U3 dengan U2, dan U4 dengan U3 adalah a.
Contoh
Soal 1
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika
6, 9, 12, 15, 18, . . .
Penyelesaian:
Dari gambar di atas maka:
a = 3
a + b = 6
3 + b = 6
b = 3
Un = an + b
Un = 3n + 3
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 6,
9, 12, 15, 18, . . . adalah Un = 3n + 3
Barisan
Aritmatika Tingkat Kedua
Contoh barisan aritmatika tingkat kedua sebagai
berikut.
a. 1, 3, 7, 13, 21, . . .
b. 5, 6, 10, 17, 27, . . .
c. 4, 6, 13, 25, 42, . . .
Selisih dua suku yang berdekatan yang bernilai sama
berada pada tingkatan yang kedua. Perhatikan gambar di bawah ini.
Untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika
tingkat 2, silahkan perhatikan uraian berikut ini.
Un = an2 + bn + c
U1 = a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
U2 = a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
U3 = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
U4 = a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
Jika dibuat dalam bentuk barisan maka akan
tampak seperti berikut.
Dengan menggunakan barisan bertingkat maka
barisan aritmatika 1, 3, 7, 13, 21, . . . akan diperoleh seperti berikut
Maka:
a + b + c = 1
3a + b = 2
2a = 2
Dengan metode substitusi maka diperoleh:
a = 1, b = – 1
dan c = 1 maka
Un = an2 + bn + c
Un = 1n2 + (– 1)n + 1
Un = n2 – n + 1
Jadi rumus untuk menentukan nilai a, b, dan c
pada barisan aritmatika tingkat 2 yakni:
a + b + c = U1
3a + b = Ut1
2a = Ut2
Contoh Soal
2
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika
4, 6, 13, 25, 42, . . .
Penyelsaian:
2a = 5
a = 5/2
3a + b = 2
3(5/2) + b = 2
15/2 + b = 2
b = 4/2 – 15/2
b = – 11/2
a + b + c = 4
5/2 – 11/2 + c = 8/2
c = 8/2 – 5/2 + 11/2
c = 14/2
Un = an2 + bn + c
Un = (5/2)n2 – (11/2)n + 14/2
Un = ½ (5n2 – 11n + 14)
Barisan
Aritmatika Tingkat Ketiga
Contoh barisan aritmatika tingkat 3 sebagai
berikut.
a. 1, 3, 7, 15, 29, . . .
b. 1, 2, 4, 10, 23, . . .
Selisih dua suku yang berdekatan memiliki nilai sama
berada pada tingkatan yang ketiga. Perhatikan gambar di bawah ini.
Dengan cara yang sama seperti cara mencari rumus
suku ke-n aritmatika tingkat kedua, maka akan diperoleh rumus untuk mencari a,
b, c dan d yakni:
a + b + c + d = U1
7a + 3b + c = Ut1
12a + 2b = Ut2
6a = Ut3
Contoh
Soal 3
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika
1, 3, 7, 15, 29, . . .
Penyelesaian:
6a = 2
a = 1/3
12a + 2b = 2
4 + b = 2
b = – 2
7a + 3b + c = 2
7/3 – 6 + c = 2
c = 6/3 + 18/3 – 7/3
c = 17/3
a + b + c + d = 1
1/3 – 2 + 17/3 + d = 1
d = 3/3 – 1/3 + 6/3 – 17/3
d = – 9/3 = – 3
Un = (1/3)n3 – 2n2 +
(17/3)n – 3
Un = (1/3)(n3 – 6n2 + 17n
– 9)
Cara Menghitung Barisan Geometri
Mungkin anda pernah mendengar penyakit diare. Salah satu penyebab penyakit diare adalah Bakteri Escherichia coli. Bakteri ini berkembang biak dengan cara membelah diri menjadi dua tiap setiap 15 menit. Jadi bakteri jenis ini akan menjadi dua kali lipat setiap 15 menit. Jika ada 10 bakteri maka dalam 15 menit banyak bakteri tersebut ada 20 dan dalam 30 menit bakteri tersebut menjadi 40. Berapa banyak bakteri tersebut dalam 10 jam?
Untuk menjawab
pertanyaan tersebut anda harus menguasai konsep barisan dan deret geometri. Apa
itu barisan geometri dan apa itu deret geometri? Barisan geometri adalah
barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang
berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut
rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian
atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya.
Untuk
lebih jelasnya silahkan lihat contoh barisan berikut ini.
a. 3,
9, 27, 81,
b. 16,
8, 4, 2,
c. 2,
8, 24, 120.
Pada
barisan (a) tampak bahwa 9/3 = 27/9 = 81/27 = 3. Jadi, perbandingan dua suku
yang berurutan pada barisan tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b)
memiliki perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan, yaitu ½. Barisan
bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan geometri. Adapun perbandingan dua suku
yang berurutan pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan barisan
geometri.
Uraian
tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r
bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan
geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut
merupakan barisan geometri turun. Rumus suku ke-n barisan geometri adalah
sebagai berikut.
Un
= apn–1
Sekarang
kita akan dapat hitung berapa jumlah bakteri Escherichia coli dalam 10 jam jika
pada awalnya ada 10 bakteri kemudian membelah tiap 15 menit. Kita konversi
terlebih dahulu 10 jam menjadi menit, di mana dalam 10 jam sama dengan 600
menit. Maka dalam 600 menit bakteri sudah membelah diri sebanyak 40 kali. Maka:
a = 10
r = 2
n = 40
Un
= apn–1
Un
= 10.240–1
Un
= 10.239
Un
= 5.497.558.138.880 atau 5,5 x 1012
Jadi
dalam 10 jam akan ada bakteri sebanyak 5,5 milyar. Wow banyak sekali ya. Jadi
biasakan cuci tangan sebelum makan agar terhindar dari bakteri Escherichia coli.
Cara Menghitung Deret Geometri
Sekarang
perhatikan pernyataan berikut ini. Iwan ingin menabung di bank dengan setoran
awal sebesar Rp 100.000,00. Tiap bulannya Iwan menabung 2 kali lipat dari
setoran sebelumnya. Berapa jumlah uang yang sudah ditabungkan Iwan selama 1
tahun?
Untuk
menjawab soal tersebut anda harus memahami terlebih dahulu konsep deret geometri.
Apa itu deret geometri? Sama seperti deret aritmetika, deret geometri pun
merupakan jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan
barisan geometri berikut ini.
1, 3,
9, 27, 81, ..., Un
Jika
kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh
1 + 3 +
9 + 27 + 81 + ... +Un
Bentuk
seperti ini disebut sebagai deret geometri.
Rumus jumlah
suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.
Sn = a(1-rn)/(1-r)
atau
Sn = a(rn
- 1)/(r-1)
Sekarang
kita akan jawab berapa jumlah uang yang sudah ditabungkan iwan selama 1 tahun
(12 bulan).
Diketahui:
a = Rp.
100.000,00
r = 2
n = 12
Ditanyakan:
U12 = ?
Jawab:
Sn = a(rn
- 1)/(r-1)
S12 = 100.000(212
- 1)/(2-1)
S12 = 100.000(4.096
- 1)/(1)
S12 = 100.000(4.095)
S12 = 409.500.000
Jadi
jumlah tabungan Iwan dalam 1 tahun adalah Rp. 409.500.000. Wow keren kan kalau
anda bisa menabung seperti itu. Dalam 1 tahun saja anda sudah bisa beli rumah.
Agar
kamu lebih paham deret geometri, coba pelajari contoh-contoh soal berikut.
Contoh Soal
Diketahui
barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan jumlah tujuh suku
pertamanya (S7).
Jawab:
Diketahui:
a = 3
r = 2
n = 7
Ditanyakan:U7
= ?
Jawab:
Sn = a(rn
- 1)/(r-1)
S7 = 3(27
- 1)/(2-1)
S7 = 381
Jadi,
jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381
Tidak ada komentar:
Posting Komentar