Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.
Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.
Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

Jenis Induksi Matematika

Deret Bilangan

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)$ .

Langkah 1

untuk n = 1, maka :

$1 = \frac{1}{2}n(n + 1)$

$1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)$

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)$

Pembuktiannya:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1)$ (dalam langkah 2, kedua ruas

ditambah k + 1)

$= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)]$ . (k + 1) dimodifikasi menyerupai $\frac{1}{2} k (k + 1)$ )

$= \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)]$ (penyederhanaan)

$= \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)$

$= \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)$

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2)$ (terbukti)

Bilangan bulat hasil pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa $5^{2n} + 3n - 1$ habis dibagi 9.

Langkah 1

untuk n = 1, maka:

$5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1$

$=5^2 + 3 - 1$

= 27

27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka :

$5^{2n} + 3n -1 \overset {menjadi}{\rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1$ (habis dibagi 9)

$5^{2k} + 3k - 1 =9b$ (b merupakah hasil bagi $5^{2k} + 3k - 1$ oleh 9)

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:

$5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1$

$= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1$

$= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1$

kemudian $(5^{2k})$ dimodifikasi dengan memasukan $5^{2k} + 3k - 1$ .

$= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1$

$= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27$

$= 25 (9b) - 72k + 27$

$= 9 (25b - 8k + 3)$ … akan habis dibagi oleh 9 (terbukti)

Contoh Soal Induksi Matematika dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .
Pembahasan:

Langkah 1

$1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}$

$1 = 1$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Langkah 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$ (kedua ruas ditambah $(k + 1)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {terbukti).

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Pembahasan:

Langkah 1

$\frac{1}{2} = 2 - \frac{(1)+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} = 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

Langkah 3 (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$ Dibuktikan dengan:

$= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (kedua ruas dikali $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )