PRISMA DAN LIMAS

Pengertian, Jenis-Jenis dan Sifat-Sifat Prisma

Coba Anda perhatikan gambar di bawah ini.

Anda tentu sudah pernah melihat benda-benda yang ditunjukkan pada gambar di atas. Gambar tersebut merupakan gambar lantai atau halaman rumah yang terbuat dari paving berbentuk segi enam.  

Bentuk benda tersebut sangat unik. Jika digambarkan secara geometris, benda-benda tersebut akan tampak seperti pada gambar di bawah ini.

Jika diperhatikan, bangun ruang di atas mempunyai bidang alas dan bidang atas yang sejajar dan kongruen. Sisi lainnya berupa sisi tegak berbentuk jajargenjang atau persegi panjang yang tegak lurus ataupun tidak tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atasnya. Jadi prisma adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas dan bidang atas yang sejajar dan kongruen serta sisi tegaknya berbentuk jajargenjang atau persegi panjang yang tegak lurus ataupun tidak tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atasnya.

Berdasarkan rusuk tegaknya, prisma dibedakan menjadi dua jenis, yaitu prisma tegak dan prisma miring atau prisma condong. Prisma tegak adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas, sedangkan prisma miring atau prisma condong adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas.

Berdasarkan bentuk alasnya, terdapat prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi lima, dan seterusnya. Jika alasnya berupa segi n beraturan maka disebut prisma segi n beraturan. Berdasarkan pengertian tersebut, apakah kubus dan balok bisa dikatakan bangun ruang prisma?

Kubus dan balok dapat dipandang sebagai prisma tegak, yaitu prisma tegak segi empat. Setiap sisi kubus atau balok dapat dianggap sebagai bidang alas atau bidang atas, dan rusuk yang tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atas sebagai rusuk tegaknya. Berikut contoh-contoh gambar prisma.

Secara umum, sifat-sifat prisma adalah sebagai berikut: prisma memiliki bentuk alas dan atap yang sejajar dan kongruen, setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegi atau persegipanjang, prisma memiliki rusuk tegak, dan setiap diagonal bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama. Sekarang dapatkah Anda hitung berapa jumlah rusuk suatu prisma jika diketahui jumlah sisi dan bentuk alasnya saja? Rusuk prisma merupakan bidang yang membatasi sisi-sisi prisma. Jumlah rusuk jika alasnya berbentuk segi n dapat di cari dengan rumus:
r = 3n
Sedangkan rusuk jika yang diketahui sisinya (s) saja dapat dicari dengan menggunakan rumus:
r = 3(s - 2)
r = 3s - 6
Rumus tambahan* Untuk menghitung jumlah sisi pada prisma dapat dicari dengan menggunakan rumus:
s = n + 2
Contoh Soal 1
Apa nama prisma tegak yang mempunyai rusuk sebanyak 54 buah?
Penyelesian:
Dengan menggunakan rumus di atas maka:
r = 3n
n = r/3
n = 45/3
n = 18
Jadi, nama prisma tegak tersebut adalah prisma tegak segi-18
Contoh Soal 2
Berapa banyak sisi pada prisma dengan alas segi-6?

Penyelesian:
Dengan menggunakan rumus di atas maka:
s = n + 2
s = 6 + 2
s = 8
Jadi, banyak sisi pada prisma dengan alas segi-6 adalah 8 buah

Cara Menghitung Luas Permukaan Prisma

Menghitung luas permukaan prisma tidak sama seperti menghitung luas permukaan balok maupun menghitung luas permukaan kubus, di mana pada luas permukaan balok dan kubus sudah ada rumusnya yang mudah diingat. Akan tetapi, untuk menghitung luas permukaan prisma kita harus tentukan terlebih dahulu jenis prisma (bentuk prisma) yang akan dihitung luas permukaannya.

Akan tetapi, dalam menentukan luas permukaan prisma, sama caranya seperti menentukan luas permukaan balok dan kubus, yaitu dengan menggunakan jaring-jaringnya. Luas permukaan prisma juga dapat ditentukan dengan menggunakan jaring-jaring prisma. Dalam postingan ini Mafia Online ambil contoh prisma tegak segitga, seperti gambar di bawah ini.

Dari prisma segitiga di atas dapat dibuat jaring-jaring prisma segitiga seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar jaring-jaring prisma tegak segitiga di atas terlihat bahwa prisma tegak segitiga ABC.DEF memiliki sepasang segitiga yang identik dan tiga buah persegipanjang sebagai sisi tegak. Dengan demikian, luas permukaan prisma segitiga tersebut adalah:

L. permukaan = L.ΔABC + L.ΔDEF + L.EDAB + L.DFCA + L.FEBC

L. permukaan = 2 · L.ΔABC + L.EDBA + L.DFAC + L.FEBC

L. permukaan = (2 · luas alas) + (jumlah luas bidang tegak) Jumlah luas bidang tegak dapat dicari dengan cara mengalikan keliling alas dengan tinggi prisma, yakni:
L.bidang tegak = keliling alas x tinggi Maka, secara umum luas permukaan prisma dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

L  = 2 x  luas alas + keliling alas x tinggi prisma

Contoh soal:

Pada prisma tegak segiempat ABCD.EFGH, sisi alas ABCD berupa trapesium sama kaki dengan AB//CD, AB = 10 cm, CD = 4 cm, dan AD = 5 cm. Jika volume prisma itu adalah 252 cm³, maka tentukanlah luas permukaan prisma tersebut!

Jawab:

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus mampu menguasai dalil Phytagoras, konsep luas trapsium dan volume prisma. Jika digambarkan maka alas prisma tersebut seperti berikut di bawah ini.

Sekarang hitung terlebih dahulu tinggi dari trapesium tersebut dengan menggunakan dalil phytagoras yakni:

t = √(5² – 3²)

t = √(25 – 9)

t = √16

t = 4 cm

Hitung luas trapesium dengan menggunakan rumus luas trapesium sebagai berikut:

L = ½ (AB + CD) x t

L = ½ (10 cm + 4 cm) x 4 cm

L = 28 cm²

Hitung keliling trapesium tersebut yakni:

K = AB + BC + CD + DA

K = 10 cm + 5 cm + 4 cm + 5 cm

K = 24 cm

Sekarang hitung tinggi prisma dengan menggunakan volume prisma yang alasnya berbentuk trapesium yaitu:

V = alas x tinggi prisma

V = L . t

252 cm³ =  28 cm² . t

t = 9 cm

Hitung keliling prisma tersebut ya

Luas permukaan prisma dapat menggunakan rumus di atas yaitu:

L  = 2.luas alas + keliling alas.tinggi prisma

L = 2. 28 cm² + 24 cm.9 cm

L = 56 cm² + 216 cm²

L = 272 cm²

Jadi luas permukaan prisma yang alasnya berbentuk trapesium tersebut adalah 272 cm²

Update *** Untuk yang bertanya angka 3 itu munculnya darimana?

Untuk pembahasan contoh soal, angka 3 itu munculnya darimana? Silahkan perhatikan gambar trapesium ABCD di atas, kemudian perhatikan gambar di bawah ini. 

Trapesium ABCD merupakan trapesium sama kaki sehingga AD = BC, DX = CY, DC = XY, dan AX = BY. Di mana dapat 3 cm?

Perhatikan bahwa:
AB = AX + XY + BY
10 cm = AX + 4 cm + BY
6 cm = AX + BY (ingat AX = BY)
6 cm = 2AX
AX = 6 cm/2
AX = 3 cm

Cara Menghitung Volume Prisma

Kita ketahui bahwa balok merupakan salah satu contoh prisma tegak segi empat (baca: pengertian, sifat dan jenis prisma). Untuk menentukan rumus volume prisma, dapat menggunakan analogi setengah volume balok. Sekarang perhatikan bangun ruang balok ABCD.EFGH di bawah ini.

Jika balok di atas di potong pada bidang diagonal FH, maka akan terbentuk dua bangun ruang prisma tegak segitiga siku-siku, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang kita fokuskan pada salah satu prisma tegak segitiga siku-siku di atas. Perhatikan gambar prisma segitiga ABD.EFH di bawah ini.

Dengan demikian, volume prisma tegak segitiga siku-siku di atas adalah setengah kali volume balok, maka:

V. prisma BCD.FGH = ½ × V. balok ABCD.EFGH

V. prisma BCD.FGH = ½ × (p × l × t)

V. prisma BCD.FGH = (½ × p × l) × t

Dalam hal ini luas alas prisma tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan luas alas yakni:

Luas alas = ½ × p × l

Maka volume prisma tegak segitiga siku-siku di atas dapat dirumuskan sebagai berikut:

V. prisma BCD.FGH = luas alas × tinggi

Jadi, volume prisma secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut, yakni:

Volume = luas alas × tinggi
atau
V = La x t

Jika diperhatikan ada dua hal penting dalam menentukan atau menghitung volume bangun ruang prisma yaitu luas alas prisma dan tinggi prisma.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang volume prisma, sekarang perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Perhatikan gambar prisma segi enam beraturan di bawah. 

Jika IJ = 4 cm dan AG = 10√3 cm, maka tentukan volume prisma tegak segi enam beraturan di atas!

Penyelesaian:

Seperti yang dijelaskan di atas, bahwa ada dua hal penting yang harus diketahui dalam mencari volume prisma yaitu luas alas prisma dan tinggi prisma. Sekarang Anda harus mencari luas alas prisma tersebut, perhatikan gambar di bawah ini.

Luas alas prisma tersebut berbentuk segi enam beraturan yang tersusun dari enam buah segitiga sama sisi. Jika menggunakan cara cepat maka luas segitiga sama sisi adalah:

L∆ = ¼r²√3

L∆ = ¼ (4 cm)²√3

L∆ = 4√3 cm²

Luas alas prisma adalah:

L alas = 6 x L∆

L alas = 6 x 4√3 cm²

L alas = 24√3 cm²

Maka, volume prisma yakni:

V = L alas x t

V = 24√3 cm² x 10√3 cm

V = 720 cm³

Jadi volume prisma tegak segi enam beraturan tersebut adalah 720 cm³

Pengertian, Jenis-Jenis dan Sifat-Sifat Limas

Sebelum membahas tentang limas, sekarang coba perhatikan gambar di bawah ini.

Mungkin Anda sudah pernah melihat gambar di atas, baik melihatnya di tv atau melihatnya secara langsung di Mesir. Gambar tersebut merupakan gambar salah satu gambar keajaiban dunia yang terdapat di negara Mesir yang dikenal dengan nama piramida. Piramida tersebut alasnya berbentuk persegi.  

Jika digambarkan secara geometris, maka gambar piramida di atas akan tampak seperti pada gambar di bawah ini.

Jika diperhatikan gambar di atas, bangun ruang tersebut memiliki 5 buah sisi dan memiliki titik puncak. Berbeda halnya dengan limas yang memiliki bidang samping berbentuk persegipanjang, bangun ruang tersebut memiliki bidang samping yang berbentuk segitiga. Bangun ruang tersebut disebut limas segiempat.

Jadi, limas adalah bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas disebut titik puncak limas.

Seperti halnya limas, pada limas juga diberi nama berdasarkan bentuk bidang alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka limas tersebut dinamakan limas segitiga. Jika alas suatu limas berbentuk segi lima beraturan maka limas tersebut dinamakan limas segi lima beraturan.

Berikut beberapa contoh gambar limas sesuai dengan namanya.

Berdasarkan pengertian tersebut, apakah kerucut bisa dikatakan bangun ruang limas?

Untuk memahami apakah kerucut bisa dikatakan bangun ruang limas, sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas sebelah kiri menunjukkan bangun limas segi banyak beraturan. Jika rusuk-rusuk pada bidang alasnya diperbanyak secara terus-menerus maka akan diperoleh bentuk yang mendekati kerucut (gambar di atas sebelah kiri). Oleh karena itu, kerucut dapat dipandang sebagai limas. Kerucut memiliki bidang alas berupa daerah lingkaran dan bidang sisi tegaknya berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.

Jadi, secara umum, sifat-sifat limas adalah sebagai berikut: setiap sisi bagian samping limas berbentuk segitiga dan limas memiliki titik puncak.

Cara Menghitung Luas Permukaan Limas

Dalam menentukan luas permukaan prisma kita menggunakan jaring-jaring prisma. Nah, dengan cara yang sama seperti cara menentukan luas permukaan prisma kita bisa menentukan luas permukaan suatu limas dengan menggunakan jarring-jaringnya. Hal pertama yang Anda harus ketahui adalah gambar jarring-jaring sebuah limas. 

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini! 

Perhatikan gambar di atas sebelah kiri menunjukkan limas segi empat T.ABCD dengan alas berbentuk persegi, sedangkan pada gambar di atas sebelah kanan merupakan jaring-jaring limas segi empat tersebut. Berdasarkan jarring-jaring tersebut maka luas permukaan limas (Lpl) dapat dicari yakni:

Lpl = L. ABCD + L. ∆TAB + L. ∆TBC + L. ∆TCD + L. ∆TAD

L. ABCD merupakan luas alas limas, sedangkan L. ∆TAB, L. ∆TBC, L. ∆TCD, dan L. ∆TAD merupakan luas sisi miringnya. Maka secara umum luas permukaan limas dapat dirumuskan sebagai berikut:

Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas seluruh sisi tegak

Untuk memantapkan pemahaman anda mengenai konsep luas permukaan limas, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisinya 12 cm. Jika tinggi segitiga pada sisi miring 10 cm, hitunglah luas permukaan limas tersebut.

Penyelesian:

Dalam menjawab soal ini Anda harus mencari luas alas dan luas sisi miringnya. Kita cari luas alasnya yang berbentuk persegi yakni:

L.alas = s²

L.alas = (12 cm)²

L.alas = 144 cm²

Sekarang cari luas sisi miringnya yang berbentuk segitiga dengan rumus luas segitiga yaitu:

L∆ = ½ x s x t

L∆ = ½ x 12 cm x 10 cm

L∆ = 60 cm²

Karena ada empat sisi miring maka luas seluruh sisi miringnya adalah:

L. sisi miring = 4 x L∆

L. sisi miring = 4 x 60 cm²

L. sisi miring = 240 cm²

Sekarang terakhir menghitung luas permukaan limas dengan menjumlahkan luas alas dengan luas seluruh sisi miring, yakni:

L. Permukaan limas = L.alas +L.sisi miring

L. Permukaan limas = 144 cm² + 240 cm²

L. Permukaan limas = 384 cm²

Cara Menghitung Volume Limas

Tahukah Anda bahwa kubus itu terbentuk dari enam buah limas? Untuk membuktikannya, sekarang coba perhatikan gambar kubus di bawah ini!

Kubus di atas memiliki rusuk yang panjangnya 2a. Jika setiap panjang diagonal ruangnya kita hubungkan dengan garis maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas terlihat ada enam buah limas dengan tinggi a. Berikut salah satu bentuk limas yang ada pada gambar di atas, seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas diketahui bahwa luas alas limas sama dengan luas persegi yakni:

L.alas = 2a x 2a = 4a²

Sekarang kita tentukan volume limas tersebut yang tingginya a, dengan menggunakan volume kubus, maka kita akan dapatkan volume dari limas yakni:

Volume limas = (1/6) x volume kubus

Volume limas = (1/6) x 2a x 2a x 2a

Volume limas = (1/3) x 4a² x a

Volume limas = (1/3) x luas alas x tinggi

Jadi, dapat disimpulkan untuk setiap limas berlaku rumus berikut:

Volume limas = (1/3) x luas alas x tinggi

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai volume limas perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Perhatikan gambar limas segi empat beraturan di bawah ini.

Jika panjang AB = 12 cm dan panjang AT = 10 cm. Hitunglah volume limas tersebut.

Penyelesaian:

Untuk mencari tinggi limas Anda harus menguasai teorema Phytagoras. Cari panjang AC dengan teorema phytagoras yakni:

AC² = AB² + BC²

AC² = 12² + 12²

AC² = 144 + 144

AC² = 288

AC = √288
AC = 12√2

Tinggi limas dapat dicari dengan teorema Phytagoras juga yakni:

ET² = AT² – (½ AC)²

ET² = 10² – (½ x 12√2)²

ET² = 10² – (6√2)²

ET² = 100 – 72

ET² = 28

ET = √28
ET = 2√7 cm

Jadi, tinggi limas tersebut adalah 2√7 cm

L. alas limas = s²

L. alas limas = 12²

L. alas limas = 144 cm²

Sekarang hitung volume limas dengan rumus:

V limas = (1/3) x L.alas x tinggi

V limas = (1/3) x 144 cm² x 2√7 cm

V limas = 96√7 cm³