FAKTORISASI SUKU ALJABAR

Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, Dan Suku

Di kelas VII Anda sudah mempelajari mengenai bentuk-bentuk aljabar. Selain itu, Anda juga harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih dan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian berikut. Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah. Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan z maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.

Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x + 2y + 3z, 2x², 4xy², 5x² – 1, dan (x – 1) (x + 3) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelum mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembali istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.

Variabel

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.

Contoh Soal

Tulislah setiap kalimat “Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3, hasilnya adalah 12” dengan menggunakan variabel sebagai pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.

Konstanta

Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.

Contoh Soal

Tentukan konstanta pada bentuk aljabar 2x² + 3xy + 7x – y – 8

Penyelesaian:

Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, sehingga konstanta dari 2x² + 3xy + 7x – y – 8 adalah –8.

Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Contoh Soal

Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar 2x² + 6x – 3

Penyelesaian:

Koefisien x dari 2x² + 6x – 3 adalah 6.

Suku

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...

b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...

c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau polinom.

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Untuk memudahkan Anda memahami konsep penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar perhatikan uraian berikut ini. “Wawan memiliki 10 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Jika kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan dengan y maka banyaknya kelereng Wawan adalah 10x + 4y”. Selanjutnya, “jika Wawan diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3 kelereng putih maka banyaknya kelereng Wawan sekarang adalah 17x + 7y”. Hasil ini diperoleh dari (10x + 4y) + (7x + 3y).

Amatilah bentuk aljabar 3x² – 2x + 3y + x² + 5x + 10. Suku-suku 3x² dan x² disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku –2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis. Sifat-sifat tersebut berlaku pada penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.

Contoh Soal 1

Tentukan hasil penjumlahan 3x² – 2x + 5 dengan x² + 4x – 3.

Penyelesaian:

(3x² – 2x + 5) + (x² + 4x – 3)

= 3x² – 2x + 5 + x² + 4x – 3

= 3x² + x² – 2x + 4x + 5 – 3 (kelompokkan suku-suku sejenis)

= (3 + 1)x² + (–2 + 4)x + (5 – 3) (sifat distributif)

= 4x² + 2x + 2

Contoh Soal 2

Tentukan hasil pengurangan 4y² – 3y + 2 dari 2(5y² – 3).

Penyelesaian:

2(5y² – 3) – (4y² – 3y + 2)

= 10y² – 6 – 4y² + 3y – 2

= (10 – 4)y² + 3y + (–6 – 2)

= 6y² + 3y – 8

Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar

Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat. Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar. Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k dinyatakan sebagai berikut.

Sebagai contoh berikut hasil penjabaran bentuk perkalian 2(3x – y) yakni:

Contoh soal 1

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut

a. 2(x + 4)

b. –3(a – 2b)

c. 5(3x + 2y)

d. –2a(a + 4b)

Penyelesaian:

a. 2(x + 4) = 2x + 8

b. –3(a – 2b) = –3a + 6b

c. 5(3x + 2y) = 15x + 10y

d. –2a(a + 4b) = –2a² – 8ab

Contoh soal 2

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut

a. 4a²(–a + 2b)

b. 2xy(x – 4)

c. –p²(p² – 3p)

d. ½ (4x – 6y)

Penyelesaian:

a. 4a²(–a + 2b) = –4a³ + 8a²b)

b. 2xy(x – 4) = 2x²y – 8xy

c. –p²(p² – 3p) = –p⁴ +3p³

d. ½ (4x – 6y) = 2x – 3y

Contoh soal 3

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut

a. 5x(8y – 9z)

b. 8y(5x – 9z)

c. 4x (x - 2y)

d. 8a (3ab - 2ab2 - 8ab)

e. 7(2x + 5)

f. (3x – 7) 4x

Penyelesaian:

a. 5x(8y – 9z) = 40xy – 45xz

b. 8y(5x – 9z) = 40xy – 72yz

c. 4x (x - 2y) = 4x² – 8xy

d. 8a (3ab - 2ab² - 8ab) = 24a²b – 16a²b² – 64a²b

e. 7(2x + 5) = 14x + 35

f. (3x – 7) 4x = 12x² – 28x

Perkalian antara Bentuk aljabar dengan bentuk aljabar

Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar k dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb. Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut.

(ax + b) (cx + d)

= ax(cx + d) + b(cx + d)

= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd

= acx² + (ad + bc)x + bd

Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.

Selanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian (ax + b) (ax + b), (ax + b)(ax – b), (ax – b)(ax – b), dan (ax +b) (ax² + bx + c). Pelajari uraian berikut ini.

a. (ax+b)²

= (ax+b) (ax+b)

= ax (ax+b) + b (ax+b)

= ax(ax) + ax(b) + b(ax) +b²

= a²x² +abx + abx +b²

= a²x² +2abx +b²

b. (ax + b)(ax – b)

= ax (ax – b) + b(ax – b)

= ax(ax) – ax(b) + b(ax) + b(–b)

= a²x² – abx + abx –b²

= a²x² – b²

c. (ax – b)(ax – b)

= ax (ax – b) – b(ax – b)

= ax(ax) – ax(b) – b(ax) –b(–b)

= a²x² – abx – abx +b²

= a²x² – 2abx + b²

d. (ax+b)(ax² + bx + c)

= (ax + b) (ax² + bx + c)

= ax (ax² + bx + c) + b (ax² + bx + c)

= ax(ax²) + ax(bx) + ax(c) + b(ax²) + b(bx) + b(c)

= a²x³ + abx² + abx² + b²x + bc

= a²x³ + 2abx² + b²x + bc

Berikut contoh soal dan cara pengerjaan hasil perkalian bentuk aljabar dari (x + 2)(x + 3) adalah:

Cara 1 dengan sifat distributif

(x + 2)(x + 3)

= x (x + 3) + 2(x + 3)

= x² + 3x + 2x + 3

= x² + 5x + 3

Cara 2 dengan skema

Contoh soal yang lain lagi yakni hasil dari perkalian (2x + 3)(x² + 2x – 5) yakni:

Cara 1 dengan sifat distributif

(2x + 3)(x² + 2x – 5)

= 2x(x² + 2x – 5) + 3(x² + 2x – 5)

= 4x³ + 4x² – 10x + 3x² + 6x – 15

= 4x³ + 7x² – 4x – 15

Cara 2 dengan skema

Contoh Soal 1

Jabarkan bentuk perkalian berikut!

a. (2x – 3) (x + 5)

b. (3x – y) (x + y)

c. (5m – 1) (m + 4)

d. (2p + q) (p – 4q)

e. (a – 4) (2a + 3) 
Penyelesaian

a. Dengan menggunakan cara distributif

(2x – 3) (x + 5)

= 2x (x + 5) – 3(x + 5)

= 2x (x) + 2x(5) – 3x – 15

= 2x² + 10x – 3x – 15

= 2x² + 7x – 15

b. Dengan menggunakan cara distributif

(3x – y) (x + y)

= 3x(x + y) – y(x + y)

= 3x² + 3xy – yx – y²

= 3x² + 2xy – y²

c. Dengan menggunakan cara distributif

(5m – 1) (m + 4)

= 5m(m + 4) – 1(m + 4)

= 5m² +20m – m – 4

= 5m² + 19m – 4

d. Dengan menggunakan cara distributif

(2p + q) (p – 4q)

= 2p(p – 4q) + q(p – 4q)

= 2p² – 8pq + qp – 4q²

= 2p² – 7pq – 4q²

e. Dengan menggunakan cara distributif

(a – 4) (2a + 3)

= a(2a + 3) – 4(2a + 3)

= 2a² +3a – 8a – 12

= 2a² – 5a – 12

Contoh Soal 2

Jabarkan bentuk perkalian berikut

a. (2x + 3) (x – 4)

b. (a + 3b) (a – 5b)

c. (5m – 1) (2m + 4)

d. (a – 3) (a² + 4a + 5)

e. (x + y) (3x² + xy + 2y²)

Penyelesaian:

a. Dengan menggunakan cara distributif

(2x + 3) (x – 4)

= 2x(x – 4) + 3(x – 4)

= 2x² – 8x + 3x – 12

= 2x² – 5x – 12

b. Dengan menggunakan cara distributif

 (a + 3b) (a – 5b)

= a(a – 5b) + 3b(a – 5b)

= a² – 5ab + 3ab – 15b²

= a² – 2ab – 15b²

c. Dengan menggunakan cara distributif

(5m – 1) (2m + 4)

= 5m(2m + 4) – 1(2m + 4)

= 10m² +20m – 2m – 4

= 10m² + 18m – 4

d. Dengan menggunakan cara distributif

(a – 3) (a² + 4a + 5)

= a(a² + 4a + 5) – 3(a² + 4a + 5)

= a³ + 4a² +5a – 3a² – 12a – 15

= a³ + a² – 7a – 15

e. Dengan menggunakan cara distributif

(x + y) (3x² + xy + 2y²)

= x(3x² + xy + 2y²) + y(3x² + xy + 2y²)

= 3x³ +x²y + 2xy² + 3x²y + xy² + 2y³

= 3x³ + 4x²y + 3xy² + 2y³

Contoh Soal 3

Tentukan hasil perkalian berikut

a. ab(a + 2b – c)

b. 5xy(x – 3y + 5)

c. 2xy(x – 3y)

d. 5a(3ab – 2ac)

e. 3y(4xy – 4yz)

Penyelesaian:

a. ab(a + 2b – c) = a²b + 2ab² – abc

b. 5xy(x – 3y + 5) = 5x²y – 15xy² + 25xy

c. 2xy(x – 3y) = 2x²y – 6xy²

d. 5a(3ab – 2ac) = 15a²b – 10a²c

e. 3y(4xy – 4yz) = 12xy² – 12y²z

Pembagian Bentuk Aljabar

Suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut.

3x³yz² = 3. x³ . y . z²

x²y³z = x².y³.z

Pada bentuk aljabar di atas, 3, x³, y, dan z² adalah faktor-faktor dari 3x³yz², sedangkan x², y³, dan z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x²y³z. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 3x³yz² dan x²y³z adalah x², y, dan z, sehingga diperoleh

3x³yz²/ x²y³z = x²yz (3xz)/ x²yz (y²) = 3xz/y²

Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar Anda harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian. Untuk memantapkan pemahaman anda tentang pembagian dalam bentuk aljabar silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Tentukan hasil pembagian dari bentuk aljabar berikut ini.

1. 6xy : 2y

2. 10a²b⁴c³ : 2abc

3. p⁴q⁶r⁵ : pq²r³

4. 6x³y⁷ : 2xy : 3y

5. 18a³b⁵c⁶ : 2ab² : 3a²c²

6. 20a⁴b⁵c⁷ : (4a²b²c³ : 2abc)

7. 21p⁴q⁵r³ : (8p²qr³ : 2pqr)

8. 3x²y × 2yz² : xyz

9. 30x⁶y⁹ : (5x⁴y² × 2xy³)

10. 32x⁴yz⁶ : 2xyz × 4xy²z³

Penyelesaian:

1. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 6xy dan 2y adalah 2, dan y, sehingga diperoleh:

6xy : 2y = 2y(3x)/2y(1) = 3x

2. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 10a²b⁴c³ dan 2abc adalah 2, a, b dan c, sehingga diperoleh:

10a²b⁴c³ : 2abc

= 10a²b⁴c³/2abc

= 2abc (5ab³c²)/2abc

= 5ab³c²

3. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari p⁴q⁶r⁵ dan pq²r³ adalah p, q², dan r³, sehingga diperoleh:

p⁴q⁶r⁵ : pq²r³

= p⁴q⁶r⁵/pq²r³

= pq²r³ (p³q⁴r²)/pq²r³

= p³q⁴r²

4. Kerjakan terlebih dahulu 6x³y⁷ : 2xy, faktor sekutu (faktor yang sama) dari 6x³y⁷ dan 2xy adalah 2, x, dan y, sehingga diperoleh

6x³y⁷ : 2xy

= 2xy (3x²y⁶)/2xy

= 3x²y⁶

kemudian hasil 3x²y⁶ dibagi dengan 3y, faktor sekutu (faktor yang sama) dari 3x²y⁶ dan 3y adalah 3 dan y, sehingga diperoleh:

3x²y⁶/3y = 3y(x²y⁵)/3y = x²y⁵

Jadi 6x³y⁷ : 2xy : 3y = x²y⁵

5. Kerjakan terlebih dahulu 18a³b⁵c⁶ : 2ab², faktor sekutu (faktor yang sama) dari 18a³b⁵c⁶ dan 2ab² adalah 2, a, dan b², sehingga diperoleh

18a³b⁵c⁶ : 2ab²

= 2ab²(9a²b³c⁶)/ 2ab²

= 9a²b³c⁶

kemudian hasil 9a²b³c⁶ dibagi dengan 3a²c², faktor sekutu (faktor yang sama) dari 9a²b³c⁶ dan 3a²c² adalah 3, a² dan c², sehingga diperoleh:

9a²b³c⁶: 3a²c²

= 3a²c²(3b³c⁴)/3a²c²

= 3b³c⁴

Jadi 18a³b⁵c⁶ : 2ab² : 3a²c² = 3b³c⁴

6. Kerjakan terlebih dahulu yang ada di dalam kurung yaitu (4a²b²c³ : 2abc), faktor sekutu (faktor yang sama) dari 4a²b²c³ dan 2abc adalah 2, a, b, dan c, sehingga diperoleh

4a²b²c³ : 2abc

= 2abc (2abc²)/ 2abc

= 2abc²

kemudian 20a⁴b⁵c⁷ dibagi dengan hasil 2abc², faktor sekutu (faktor yang sama) dari 20a⁴b⁵c⁷  dan 2abc² adalah 2, a, b, dan c², sehingga diperoleh:

20a⁴b⁵c⁷ : 2abc²

= 2abc² (10a³b⁴c⁵)/ 2abc²

= 10a³b⁴c⁵

Jadi 20a⁴b⁵c⁷ : (4a²b²c³ : 2abc) = 10a³b⁴c⁵

7. Kerjakan terlebih dahulu yang ada di dalam kurung yaitu (8p²qr³ : 2pqr), faktor sekutu (faktor yang sama) dari 8p²qr³ dan 2pqr adalah 2, p, q, dan r, sehingga diperoleh

8p²qr³ : 2pqr

= 2pqr (4pr²)/ 2pqr

= 4pr²

kemudian 21p⁴q⁵r³  dibagi dengan hasil 4pr², faktor sekutu (faktor yang sama) dari 21p⁴q⁵r³  dan 4pr² adalah p, dan r², sehingga diperoleh:

21p⁴q⁵r³ : 4pr²

= pr² (21p³q⁵r)/ pr²(4)

= 21p³q⁵r/4

Jadi 21p⁴q⁵r³ : (8p²qr³ : 2pqr) = 21p³q⁵r/4

8. Sama seperti soal-soal sebelumnya hanya saja Anda bisa memilih yang mana anda kerjakan terlebih dahulu (saya pilih pembagian terlebih dahulu),

3x²y × (2yz² : xyz)

= 3x²y × (2z/x)

= 3xy/2z

9. Sama seperti soal-soal sebelumnya hanya saja Anda bisa memilih yang mana anda kerjakan terlebih dahulu (saya pilih yang di dalam kurung terlebih dahulu),

30x⁶y⁹ : (5x⁴y² × 2xy³)

= 30x⁶y⁹ : 10x⁵y⁵

= 3xy⁴

10. Sama seperti soal-soal sebelumnya hanya saja Anda bisa memilih yang mana anda kerjakan terlebih dahulu (saya pilih pembagian terlebih dahulu)

(32x⁴yz⁶ : 2xyz) × 4xy²z³

=  16x³z⁵ × 4xy²z³

= 64x⁴y²z⁸

Pemfaktoran Aljabar Dalam Bentuk ax + bx – cx

Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut.

Sekarang, Mafia Online akan membahas faktorisasi bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx. Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif, seperti berikut ini.

ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...)

ax + bx – cx = x(a + b – c)

Contoh Soal

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.

1. 3x – 3y

2. 2x + 6

3. ab + bc

4. x³ + xy²

5. 8pq + 24pqr

4. ap² + 2ap

5. 4x²y – 6xy³

6. 15x² – 18xy + 9xz

Penyelesaian:

1. 3x – 3y = 3(x – y)

2. 2x + 6 = 2(x + 3)

3. ab + bc = a(b + c)

4. x³ + xy² = x (x² + y²)

5. 8pq + 24pqr = 8pq(1 + 3r)

4. ap² + 2ap = ap(p+2)

5. 4x²y – 6xy³ = 2xy(2x – 3y²)

6. 15x² – 18xy + 9xz = 3x(5x – 6y + 3z)

Pemfaktoran Aljabar Selisih Dua Kuadrat

Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut.

x² – y²

= x² + (xy – xy) – y²

= (x² + xy) – (xy + y²)

= x (x +y) – y(x + y)

= (x + y)(x – y)

Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x² – y² dapat dinyatakan sebagai berikut.

x² – y² = (x + y)(x – y)

Contoh Soal

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut

1. 3p² – 12

2. x² – 25

3. 64a² – 9

4. 9m² – 16

5. 8a² – 2b²

6. 1 – x²

7. 25p² – 16q²

8. 49 – p²

9. 36x² – 81y²

10. 9x² – 16

11. 81p² – 100q²

Penyelesaian:

1. 3p² – 12

= 3(p² – 4)

= 3 (p – 2)(p + 2)

2. x² – 25

= x² – (5)²

= (x + 5)(x – 5)

3. 64a² – 9

= (8a)² – (3)²

= (8a + 3)(8a – 3)

4. 9m² – 16

= (3m)² – (4)²

= (3m + 4)(3m – 4)

5. 8a² – 2b²

= 2(4a² – b²)
= 2((2a)² – b²)

= 2(2a + b)( 2a – b)

6. 1 – x²

= (1 + x)( 1 – x)

7. 25p² – 16q²

= (5p)² – (4q)²

= (5p + 4q)(5p – 4q)

8. 49 – p²

= 7² – p²

= (7 + p)(7 – p)

9. 36x² – 81y²

= (6x)² – (9y)²

= (6x + 9y)(6x – 9y)

10. 9x² – 16

= (3x)² – 4²

= (3x + 4)(3x – 4)

11. 81p² – 100q²

= (9p)² – (10q)²

= (9p + 10q)(9p – 10q)

Pemfaktoran Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2

Dengan menggunkan sifat distributif maka untuk memfaktorkan bentuk aljabar x² + 2xy + y² perhatikan uraian berikut.

x² + 2xy + y²

= x² + xy + xy + y²

= (x² + xy) + (xy + y²)

= x(x + y) + y(x + y)

= (x + y)(x + y)

= (x + y)²

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x² – 2xy + y² perhatikan uraian berikut.

x² - 2xy + y²

= x² - xy - xy + y²

= (x² - xy) - (xy - y²)

= x(x - y) - y(x - y)

= (x - y)(x - y)

= (x - y)²

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

x² + 2xy + y² = (x + y)(x + y) = (x + y)²

x² - 2xy + y² = (x - y)(x - y) = (x - y)²

Contoh soal

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut

1. x² – 6x + 9

2. p² – 18p + 81

3. b² + 6b + 9

4. p² – 4p + 4

5. x² – 8x + 16

6. m² + 2m + 1

Penyelesaian:

1. x² – 6x + 9

= x² – 3x – 3x + 9

= (x² – 3x) – (3x – 9)

= x (x – 3) – 3 (x – 3)

= (x – 3)(x – 3)

= (x – 3)²

2. p² - 18p + 81

= p² - 9b - 9p + 81

= (p² - 9p) - (9p - 81)

= p (p - 9) - 9 (p - 9)

= (p - 9)(p - 9)

= (p - 9)²

3. b² + 6b + 9

= b² + 3b + 3b + 9

= (b² + 3b) + (3b + 9)

= b (b + 3) + 3 (b + 3)

= (b + 3)(b + 3)

= (b + 3)²

4. p² – 4p + 4

= p² – 2p – 2p + 4

= (p² – 2p) – (2p – 4)

= p (p – 2) – 3 (p – 2)

= (p – 2)(p – 2)

= (p – 3)²

5. x² – 8x + 16

= x² – 4x – 4x + 16

= (x² – 4x) – (4x – 16)

= x (x – 4) – 4 (x – 4)

= (x – 4)(x – 4)

= (x – 4)²

6. m² + 2m + 1

= m² + m + m + 1

= (m² + m) + (m + 1)

= m (m + 1) + 1 (m + 1)

= (m + 1)( m + 1)

= (m + 1)²

Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0

Anda telah mempelajari perkalian antara suku dua dengan suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.

Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 x 8 = 12 x 6.

Ada dua cara untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax² + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.

Cara Pertama Dengan Menggunakan sifat distributif

ax² + bx + c = ax² + px + qx + c dengan

p × q = a + c dan

p + q = b

Contoh soal

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut dengan menggunakan cara distributif.

1. 2x² + 7x + 3

2. 3x² + 16x + 5

3. 2x² + 5x + 3

4. 3y² + 8y + 4

5. 5x² + 13x + 6

Peneyelesaian:

1. 2x² + 7x + 3

Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 7 adalah 6 dan 1, sehingga

2x² + 7x + 3

= 2x² + x +6x + 3

= (2x² + x) + (6x + 3)

= x(2x + 1) + 3(2x + 1)

= (x + 3)(2x + 1)

2. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 5 = 15 dan jumlahnya 16 adalah 15 dan 1, sehingga

3x² + 16x + 5

= 3x² + 15x + x + 5

= (3x² + x) + (15x + 5)

= x(3x + 1) + 5(3x + 1)

= (x + 5)(3x + 1)

3. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 5 adalah 3 dan 2, sehingga

2x² + 5x + 3

= 2x² + 2x + 3x + 3

= (2x² + 2x) + (3x + 3)

= 2x(x + 1) + 3(x + 1)

= (2x + 3)( x + 1)

4. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 4 = 12 dan jumlahnya 8 adalah 6 dan 2, sehingga

3y² + 8y + 4

= 3y² + 6y + 2y + 4

= (3y² + 6y) + (2y + 4)

= 3y(y + 2) + 2(y + 2)

= (3y + 2)( y + 2)

5. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 5 × 6 = 30 dan jumlahnya 13 adalah 10 dan 3, sehingga

5x² + 13x + 6

= 5x² + 10x + 3x + 6

= (5x² + 10x) + (3x + 6)

= 5x(x + 2) + 3(x + 2)

= (5x + 3)( x + 2)

Cara Kedua dengan Menggunakan Rumus

ax² + bx + c = 1/a (ax + m) (ax + n) dengan

m × n = a × c dan

m + n = b

Contoh Soal

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut dengan menggunakan rumus.

1. 2x² + 7x + 3

2. 3x² + 16x + 5

3. 2x² + 5x + 3

4. 3y² + 8y + 4

5. 5x² + 13x + 6

Peneyelesaian:

Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 7 adalah 6 dan 1, sehingga

2x² + 7x + 3

= ½ (2x + 6)(2x + 1)

= ½ × 2 (x + 3)(2x + 1)

= (x + 3)(2x + 1)

2. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 5 = 15 dan jumlahnya 16 adalah 15 dan 1, sehingga

3x² + 16x + 5

= (1/3)(3x + 15)(3x + 1)

= (1/3)× 3(x + 5)(3x + 1)

= (x + 5)(3x + 1)

3. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 5 adalah 3 dan 2, sehingga

2x² + 5x + 3

= ½ (2x + 2)(2x + 3)

= ½ × 2 (x + 1)(2x + 3)

= (x + 1)(2x + 3)

4. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 4 = 12 dan jumlahnya 8 adalah 6 dan 2, sehingga

3y² + 8y + 4

= (1/3) (3y + 6)(3y + 2)

= (1/3)×3 × (y + 2)(3y + 2)

= (3y + 2)( y + 2)

5. Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 5 × 6 = 30 dan jumlahnya 13 adalah 10 dan 3, sehingga

5x² + 13x + 6

= (1/5) (5x + 10)(5x + 3)

= (1/5) × 5 (x + 2)(5x + 3)

= (5x + 3)( x + 2)

Berdasarkan contoh soal tersebut maka cara yang paling bagus digunakan untuk memfaktoran bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0 adalah dengan menggunakan cara yang kedua yaitu menggunakan rumus. Selain caranya yang singkat kita juga tidak akan ribet memasangkan bilangan yang sudah kita peroleh. 

Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar

Adapun pada penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda dapat dilakukan dengan cara menyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.

Contoh Soal 1

Contoh soal 2

Contoh soal 3

Contoh soal 4

Contoh soal 5

Contoh Soal 6

Contoh soal 7

Contoh soal 8

Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar

Perkalian antara dua pecahan dapat dilakukan dengan mengalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Dengan cara yang sama, dapat ditentukan hasil perkalian antara dua pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Contoh Soal 4

Contoh Soal 5

Pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan mengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan cara mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Contoh Soal 4